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更新日期：2018-10-01
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Größter gemeinsamer Teiler (ggT)
Der ggT gibt die größtmögliche Zahl an, durch die zwei oder mehr Zahlen teilbar sind. Eine Zahl ist teilbar durch eine andere Zahl, wenn die Division durch genau diese Zahl eine ganze Zahl ergibt.
Im Folgenden werden nun zwei Methoden vorgestellt, mit denen man den ggT bestimmen kann.Bestimmung des ggT durch Auflisten aller Teiler
Diese Methode ist einfach verständlich, jedoch bei größeren Zahlen sehr umständlich. Zählt man alle Teiler der Zahlen auf, deren ggT man bestimmen soll, so lässt sich der ggT ablesen.
Man erkennt nun die Teiler von 8, diese sind:1,2,4,8
Bestimmt man mit dem selben Verfahren die Teiler von 12 erhält man:1,2,3,4,6,12
Jetzt schaut man sich den größten dieser Teiler an, der in beiden Listen auftaucht (den also beide gemeinsam haben). In diesem Fall wäre das die Zahl 4. Die 4 ist also ggT von 8 und 12.
Mathematisch schreibt man dies: ggT(8, 12)=4
Problematisch wird dieses Verfahren bei größeren Zahlen, die viele Teiler besitzen.
Bestimmen des ggT durch Primfaktorzerlegung
Eine etwas kompliziertere, aber dafür auch für größere Zahlen anwendbare Methode ist die Bestimmung von Primfaktoren der Zahlen, von denen der ggT gebildet werden soll. Man zerlegt die Zahlen jeweils in ihre Primfaktoren und bestimmt anschließend alle Faktoren, die in beiden Zerlegungen auftauchen. Diese Faktoren multipliziert man anschließend.
Falls dir die Primfaktorzerlegung noch nicht bekannt ist, solltest du zuerst die Lektion Primzahlen und Primfaktorzerlegung anschauen.
Diese Methoden lassen sich auch für den ggT von mehr als zwei Zahlen anwenden.
Sollten die Zahlen keinen gemeinsamen Teiler besitzen (also nur Division :1 funktioniert), verwenden wir das Wort "teilerfremd".
Anwendung des ggT
Der ggT lässt sich unter anderem verwenden, um Brüche zu kürzen. Hat man den ggT von Zähler und Nenner eines Bruches bestimmt, so kann man diesen Bruch mit dem ggT kürzen.
Das kgV gibt an, wann sich die Vielfachen von zwei Zahlen zum ersten Mal begegnen.
Auch hier gibt es zwei Methoden. Die den Methoden zur Berechnung des ggT ähneln.
Bestimmung des kgV durch Auflisten der Vielfachen
Auch hier kann man einige Vielfache bestimmen und anschließend schauen, wenn die Vielfachen der Zahlen gleich sind.
Anders als beim ggT gibt es immer ein kgV.Anwendung des kgV
Möchte man zwei Brüche addieren, deren Nenner unterschiedlich sind, so muss man die Nenner gleichnamig machen. Dazu brauch man ein gemeinsames Vielfaches der beiden Nenner. Man kann also das kgV zur Hilfe nehmen.
Man kann die Brüche somit beide erweitern, sodass in beiden Nennern 210 steht.
Um zu wissen, mit welchem Wert man erweitern musst, nimmt man die zuvor bestimmte Primfaktorzerlegungen zur Hilfe, um die Nenner in Faktoren zu zerlegen:
5/30+14/42=5/(2·3·5)+14/(2·3·7)
Möchte man diese Brüche gleichnamig machen, so muss man jeweils mit den Primfaktoren erweitern, die im anderen Nenner, aber nicht im jeweils eigenen Nenner vorhanden sind.
5/(2·3·5)+14/(2·3·7)=(5·7)/(2·3·5·7)+(14 · 5) / (2 · 3 · 7 · 5) = 35 / 210 + 70/210 = 105/210
Das kgV lässt sich auch von mehreren Zahlen bestimmen, dazu kann man ebenfalls beide Methoden anwenden.
kgV von mehreren Zahlen
Die Rechenmethode ist dieselbe wie vorab kennengelernt, nur dass wir jetzt eine weitere Zahl berücksichtigen:
28 = 2 · 2 · 7
25 = 5 · 5
40 = 2 · 2 · 2 · 5
kgV = 2 · 2 · 2 · 5 · 5 · 7 = 1400
Wissen in Kurzform
größter gemeinsamer Teiler
Der ggT gibt die größtmögliche Zahl an, durch die zwei Zahlen teilbar sind.
Berechnung: Zahlen in Primfaktoren zerlegen und gleiche Primfaktoren zusammenfassen.
Wir schreiben: ggT(8, 20) = 4
Sollten die Zahlen keinen gemeinsamen Teiler besitzen (also nur Division :1 funktioniert), verwenden wir das Wort "teilerfremd".
kleinstes gemeinsames Vielfaches
Das kgV gibt an, wann sich die Vielfachen von zwei Zahlen zum ersten Mal begegnen.
Berechnung: Zahlen in Primfaktoren zerlegen und Primfaktoren (jeweils in höchster Anzahl) zusammenfassen.
Wir schreiben: kgV(6, 8) = 24
